Назад Содержание Далее

Тема 8. Проецирование гранных тел

Содержание.

8.1. Виды многогранников

Многогранники - это конечная часть пространства, ограниченная отсеками пересекающихся плоскостей. Совокупность отсеков образует гранную поверхность многогранника. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения - ребрами. Ребра пересекаются в точках-вершинах многогранника. Совокупность всех ребер и вершин многогранника называется его сеткой.

Построение проекций многогранника на комплексном чертеже сводится к построению проекций его сетки.

Многогранник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости любой своей грани. Все его грани выпуклые многоугольники.

Выпуклым называется такой многоугольник, у которого все стороны расположены по одну сторону любой из его сторон.

Многогранники, как простейшие формы, широко применяются в различного рода механизмах и деталях машин, в строительных сооружениях. В природе многие вещества имеют кристаллическое строение в виде различных многогранников.

Из всего многообразия многогранников рассмотрим призмы, пирамиды, призматоиды, антипризмы, правильные выпуклые многогранники (тела Платона), полуправильные и звездчатые.

8.1.1. Призмы.

Многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами - основаниями, называют призмой.

 
На рисунке 8.1 приведены наглядные изображения трех и четырехгранных призм, основания которых расположены на горизонтальной плоскости проекций, и трехгранная призма с основанием на фронтальной плоскости проекций.

А что изображено на этом комплексном чертеже?

На рисунке 8.2 даны проекции  многогранника ABCDEFGH. Как видно из чертежа:

Следовательно, боковые ребра AE,BF,CG и DH многогранника параллельны друг другу, а этим свойством, как известно, обладают призмы. Из параллельности сходственных сторон многоугольников ABCD и EFGH, например,AB и EF , BC и FG и т.д. , заключаем, что эти основания параллельны. Следовательно, призма не является усеченной, причем выпуклость оснований свидетельствует о выпуклости призмы.

Таким образом это четырехгранная призма, основание которой расположено в плоскости общего положения.

8.1.2. Пирамиды

Классическим примером такой фигуры могут служить египетские пирамиды.

В качестве примеров гранных тел на рис. 8.4 изображены трех - и четырехгранные пирамиды и трехгранная призма.


Дадим математическое определение пирамиды.

Многогранник, одна грань которого - многоугольник со сколь угодно большим числом сторон (не менее трех), а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной, называют пирамидой.
На рисунке 8.5 чертеж четырехгранной пирамиды, основание которой находится в плоскости общего положения.

8.1.3. Призматоиды.

Призматоидом называют многогранник, основания которого многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани - треугольники и трапеции, вершины которых являются вершинами оснований.

На рисунках 8.7 и 8.6 приведено наглядное изображение и комплексный чертеж призматоида.

8.1.4. Антипризмы

Многогранник, основания которого - равные, правильные, выпуклые многоугольники с центрами, расположенными на общей нормали к ним и повернутыми относительно друг друга на угол 180/n ,где n - число сторон многоугольника, а боковые грани - правильные треугольники, вершинами которых служат вершины оснований, называют антипризмой.

На рисунке 8.8 приведены наглядное изображение и комплексный чертеж антипризмы.

8.1.5. Ромбоэдр.

На рисунках 8.9 и 8.10 приведены слева комплексный чертеж, а справа наглядное изображение гекосаэдра (шестигранника), все грани которого являются ромбами.

8.1.6. Правильные многогранники

Многогранник,все грани которого - правильные многоугольники и все многогранные углы равны, называют правильными.

Среди правильных многогранников различают выпуклые (рис.8.11)- тела Платона (их всего пять) и вогнуто-выпуклые или звездчатые (рис.8.12) (их всего четыре) .

На приведенных выше рисунках 8.11 даны наглядные изображения тел Платона, где:  а -  тетраэдр - четырехгранник, б - гексаэдр - шестигранник (куб), .в - октаэдр-восьмигранник, г - додекаэдр - двенадцатигранник, д - икосаэдр - двадцатигранник.

На рисунке 8.12 приведены 4-е звездчатых правильных многогранника:
a - малый звездчатый додекаэдр,
б - большой додекаэдр,
в - большой звездчатый додекаэдр,
г - большой икосаэдр.
Других правильных многогранников не существует.

Данные, характеризующие указанные тела, приведены в таблице, где Г-число граней, В- число вершин, Р- число ребер, n- число сторон каждой грани, m- число ребер, сходящихся в каждой вершине.

Таблица

Многогранник ГВРnm
Тетраэдр44633
Куб681243
Октаэдр861234
додекаэдр1220305 3
Икосаэдр2012303 5

Все выпуклые многогранники обладают свойством, которое впервые доказал великий математик Леонард Эйлер (1707-1783),установивший зависимость между числом граней многогранника (Г), числом вершин (В) и числом ребер (Р),

Г+В-Р=2.

Правильные многогранники часто применяются в качестве аппроксимирующих, заменяющих кривые поверхности.

Многогранники называются правильными, если их грани правильные многоугольники равные между собой и все многогранные (телесные) углы равны между собой.


8.2. Построение чертежей многогранников и проецирование точек, принадлежащих их поверхностям


Построение проекций многогранника на комплексном чертеже сводится к построению проекций его сетки. (Определение сетки дано в начале раздела 8.1)

При построении проекций геометрических тел, в частности и многогранников, на комплексном чертеже оси координат заменяют осями симметрии поверхности, либо вводят плоскости или линии отсчета.

8.2.1. Проецирование призмы.

Рассмотрим построение комплексного чертежа (рис.8.13) четырехгранной призмы и ее наглядного изображения.

Построение комплексного чертежа в разнесенной системе координат начинаем с горизонтальной проекции. На плоскость П1 призма спроецируется в виде квадрата, вершины которого расположены на осях X,Y. На фронтальную плоскость проекции призма спроецируется в виде двух смежных прямоугольников. Т.к фронтальная и профильная проекции четырехгранной призмы одинаковы, то профильную проекцию строить не будем.

В качестве наглядного изображения могут использоваться различные виды аксонометрий но чаще всего диметрия и изометрия.
На рис. 8.13. изображены диметрия и изометрия призмы. Очевидно, что диметрия дает значительно лучшее представление о призме, чем изометрия.
На рис. 8.14 приведен комплексный чертеж, диметрия и изометрия треугольной пирамиды. Как видим и в этом случае диметрия более наглядная.

Из теории известно, что, если в основании геометрического тела лежит правильный многоугольник, то в качестве наглядного изображения лучше строить диметрию.

На рис. 8.15 приведены комплексный чертеж и диметрия прямой трехгранной призмы, основание которой расположено на фронтальной плоскости проекций.

8.2.2. Проецирование пирамиды.

На рис 8.16 изображены комплексный чертеж и наглядные изображения трехгранной пирамиды

Комплексный чертеж пирамиды построен в разнесенной системе координат. Пирамида задана размерами основания (основание равносторонний треугольник) и высотой.
Чтобы главный вид (фронтальная проекция) был наиболее информативным, пирамида расположена вертикально и повернута так, что одна сторона треугольника основания параллельна оси Х. При этом на главном виде видны все три боковые ребрапирамиды и две боковые грани.
На комплексном чертеже указаны размеры y1, y1 и h, которыеиспользованы при построении наглядных изображений диметрии и изометрии. Диметрия более наглядна, так как на ней видны две передние боковые грани.

На рис 8.17 построен комплексный чертеж и наглядные изображения четырехгранной пирамиды

Как и в предыдущем случае комплексный чертеж построен в разнесенной системе координат. Призма задана размерами четырехугольника основания и высотой. Расположение призмы в системе координат при проецировании выбраноиз условий информативности главного вида. Профильная проекция призмы не построена, так как она полностью совпадает с главным видом.
Размеры X и Y, показаные на горизонтальной проекции, и высота h использованы при построении наглядных изображений. Как видно из чертежа и в этом случае диметрия более наглядная, чем изометрия.

8.2.3. Проецирование точек, лежащих на боковой поверхности гранного тела.

При построении проекций точек, принадлежащих гранным поверхностям, исходят из условий принадлежности точки грани - отсеку плоскости (см.Раздел 5.2). Напомним, что ограниченная со всех сторон часть плоскости называется отсеком. Построения выполняют, используя проецирующие свойства плоскости или прибегая к посредникам, в качестве которых обычно применяют вспомогательные прямые и плоскости.

Рассмотрим построение проекций точки принадлежащей боковой поверхности трехгранной призмы (см. рис.8.18).

Пусть точка А принадлежит левой боковой грани и задана фронтальной проекцией А2.

Горизонтальная проекция А1 расположена на стороне треугольника (горизонтальной проекции призмы), так как грань призмы горизонтально-проецирующая.

Профильная проекция А3 точки А располагается на линии уровня, проходящей через А2, и на расстоянии YА от оси Z3.

Рассмотрим два способа построений проекций точки, принадлежащей боковой поверхности трех гранной пирамиды.
На рис.8.19 показано построение проекций точки А методом вспомогательной прямой. Точка А задана проекцией А2 и расположена на боковой грани пирамиды.

Через фронтальную проекцию вершины пирамиды и точку А2 проводим прямую до пересечения с основанием в точке B2. По линии проекционной связи найдем горизонтальную проекцию B1 точки B. Соединив B1 с горизонтальной проекцией вершины получим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой.

По линиям проекционной связи найдем профильную проекцию B3 точки В и вспомогательной прямой. Точка А принадлежит этой прямой. По линиям проекционных связей найдем А1 и А3. Рассмотрим по шагам построение проекций точки К, принадлежащей грани наклонной пирамиды.

На рис.8.20 показано построение проекций точки А методом вспомогательной плоскости уровня.

Через фронтальную проекцию А2 проведем горизонтальную плоскость уровня. В сечении получим треугольник, подобный основанию, и проходящий через точку D, принадлежащую ребру пирамиды.

Точка А принадлежит этой вспомогательной плоскости.По линиям проекционных связей найдем А1 и А3.

8.3. Пересечение многогранников проецирующей плоскостью.

При пересечении многогранника плоскостью получается плоская фигура, называемая сечением.

Контуром сечения в общем случае является многоугольник с различным числом сторон, в частном случае - прямая или точка.

Построение контура сечения многогранника плоскостью сводится в основном к построению точек пересечения его ребер с секущей плоскостью либо линий взаимного пересечения плоскостей - граней с заданной секущей плоскостью.

8.3.1. Сечение призмы проецирующей плоскостью.

На рис.8.21 показано построение проекций и натуральной величины сечения прямой треугольной призмы профильно-проецирующей плоскостью.

8.3.2. Сечение пирамиды проецирующей плоскостью.

На рис.8.22 показано построение проекций и натуральной величины сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью.

8.4. Взаимное пересечение многогранников

Линия пересечения двух многогранников представляет собой некоторую замкнутую пространственную ломаную. Эта линия может распадаться на две или более также замкнутых ломаных, в частности, - на плоские многоугольники. Стороны ломаной представляют собой отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников.

Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника с гранями первого.

Таким образом, при построении линии пересечения двух многогранников задача сводится к построению точек пересечения прямой с плоскостью, т.е. ребер с гранями, и линии пересечения двух плоскостей (граней).

Как известно, при решении таких задач в общем случае пользуются посредниками: вспомогательными прямыми линиями и плоскостями (уровня, проецирующими и общего положения).

Если хотя бы одна из поверхностей многогранника проецирующая, то при построении линии пересечения многогранников опираются на свойство проецирующей поверхности.

8.4.1. Проецирование призмы с призматическим отверстием.

На рис.8.23 выполнено построение комплексного чертежа и диметрии трехгранной призмы с призматическим отверстием в ней.

Построение диметрии по шагам можно найти здесь.

На рис. 8.24 показан еще один пример проецирования четырехгранной призмы с четырехгранным призматическим отверстием.

8.4.2. Проецирование пирамиды с призматическим отверстием.

На рис. 8.25 приведен комплексный чертеж и диметрия четырехгранной пирамиды с трехгранным призматическим отверстием.

8.4.3.          Проектирование наклонной призмы общего положения, что пересекается прямой общего положения(построение комплексного  чертежа)

Построение  комплексного  чертежа сводится к следующим действиям:

-проецирование призмы;

-проецирование прямой;

-построение точек пересечения прямой с призмой.

Проектирование призмы и  прямой не вызывает  затруднений.

рис. 8.26 

Основное  внимание уделим нахождению точек  пересечения прямой с гранями призмы, которые через  расположение  призмы являются  плоскостями общего  положения.

На рис 8.26 изображен комплексный  чертеж призмы и прямой DE общего  положения, заданных проекциями.

Найти:Точки пересечения прямой  с призмой.

 

Решение этой задачи выполняется с помощью вспомогательной  плоскости S общего положения, построенной так, чтобы  она  была параллельна продольным ребрам призмы и прямой DE. Эта  плоскость  S задана пересекающимися прямыми m и l, что проходят через  произвольно выбранную точку О. Прямая m параллельная  прямой DE, а прямая l параллельная продольным ребрам призмы.

         Подробное описание построения смотрите здесь.

 

8.4.4. Проецирование двух наклонных  пересекающихся  призм общего положения. Построение  комплексного  чертежа.

На рис. 8.27  изображен  комплексный  чертеж двух  наклонных пересекающихся  призм  общего  положения. Рассмотрим  построение этого  чертежа. Построение  чертежа сводится к :АПР

Проецирование  призм  подробно  рассмотрено в  разделе 8.2.1. 

    Поэтому  основное  внимание  уделим  построении  линии пересечения  призм,  которое  сводится к  нахождению  точек  пересечения ребер  первой  призмы  с  гранями  второй  и ребер второй  с гранями  первой.

    Построение  линии  пересечения  выполнено с  помощью вспомогательной плоскости S, параллельной  продольным  ребрам  обеих  призм. Задание такой  плоскости и  определение  с ее  помощью  точек  пересечения ребер(прямых линий) с  гранями  призмы изложено в разделе  8.8.3(рис. 8.26).

 

 

 


С  помощью  плоскости S  найдены точки 5{51, 52}, 6{61, 62}, 7{71, 72}, 8{81, 82} пересечения ребер  первой  призмі  с  гранями второй и точки 1{11, 12}, 2{21, 22}, 3{31, 32}, 4{41, 42} пересечения ребер  второй  призмы с  гранями  первой.  Соедеинив эти точки, как показано на  чертеже, построим  линию  пересечения  призм.
Рекомендуем  изучить построение  чертежа  по шагам c подробными обьяснениями здесь.


Назад Содержание Далее