Назад Содержание Далее

Тема 7. Аксонометрия.

Содержание.

7.1. Основные понятия, определения и соотношения.

Комплексный чертеж полностью определяет геометрические формы изделия, но по нему достаточно сложно представить  внешний вид. Более наглядное изображение предметов, приближенное к зрительному восприятию дают аксонометрические проекции или аксонометрия. Термин аксонометрия в переводе с греческого означает измеряю по осям.

Сущность аксонометрических проекций рассмотрим ниже.

Ранее мы неоднократно пользовались пространственным макетом. Отметим, что пространственный макет дает хорошее наглядное представление об объекте проецирования и его расположении в пространстве. Однако геометрические размеры объекта проецирования в пространственном макете искажены и по имеющемуся изображению определить действительные (натуральные) размеры весьма затруднительно.

Чтобы по наглядному изображению можно было не только представить геометрические формы но и определить натуральные размеры изображенного объекта поступают следующим образом (смотри рис.7.1).

Объект проецирования (в данном случае точку В) распологают в декартовой системе координат O, X, Y, Z и проецируют ее вместе с системой координат на аксонометрическую плоскость ПА. Полученное на плоскости ПА изображение называют аксонометрической проекцией или аксонометрией.
Направление проецирования задается вектором S, проведенным под углом j к плоскости ПА. Значение угла j определяет вид и свойства аксонометрии.
Прежде чем рассматривать виды аксонометрии рекомендуем
рассмотреть подробно по шагам построение аксонометрической системы координат и аксонометрических проекций точки, поскольку любое тело состоит из множества точек.

Рассмотрим свойства аксонометрий

Если j ¹ 900, то это косоугольная аксонометрия (специальный вид аксонометрий) и рассматривать его не будем. При j ¹ 900 прямоугольная аксонометрия широко применяется. Рассмотрим ее подробней на рис.7.2.


Аксонометрическая плоскость проекций ПA расположена в пространстве таким образом, что пересекается с осью ОХ в точке А, с осью OY в точке В, а с осью OZ в С. Соединим полученные точки. Прямая АВ - линия пересечения плоскости ПA с горизонтальной плоскостью проекций П1 - горизонтальный след.
Прямая АС - фронтальный след, а ВС - профильный. Поэтому треугольник АВС называется треугольником следов.

Ортогонально спроецируем начало координат точку О на аксонометрическую плоскость ПA и получим точку О'. Очевидно, что прямая ОО' перпендикулярна плоскости ПA. Пусть прямая ОО' составляет с осями координат OX,OY,OZ углы альфа, бетта, гамма соответственно.
Соединим точку О' с точками А, В, и С.
Прямая О'А = О'Х' - проекция оси ОХ на плоскость ПA - (аксонометрическая ось О'Х').
О'В = О'Y' - проекция оси OY на плоскость ПA - (аксонометрическая ось О'Y'),
а O'C = O'Z' - аксонометрическая ось О'Z'.

Отрезок О'А, принадлежащий аксонометрической оси О'Х', - проекция отрезка ОА, принадлежащего оси ОХ, причем


Коэффициенты искажения являются масштабными множителями по соответствующим осям.
Из курса аналитической геометрии известно


Преобразуем это соотношение

Подставим полученные соотношения в формулу (*)

Окончательно получим:

U2 + V2 + W2 = 2

Сумма квадратов коэффициентов искажения по координатным осям равна двум.

Это соотношение является основным для ортогональных аксонометрических построений и его следует запомнить.

По соотношениям между коэффициентами искажений аксонометрические изображения деляться на

изометрию - все три коэффициента искажения равны между собой, т.е. U = V = W;
диметрию - два коэффициента равны между собой и не равны третьему. Чаще всего используется соотношение U = W = 2V;
триметрию - все три коэффициента искажения разные

Чаще всего используется изометрия и диметрия, поэтому мы их рассмотрим подробнее.

Триметрия применяется реже, например в горном деле, и ее мы рассматривать не будем.

7.2. Изометрия

Аксонометрическое изображение, у которого коэффициенты по всем трем координатным осям равны между собой, т.е. U = V = W, называется изометрией. Пусть U = V = W = K. Подставим значение коэффициентов искажения в основное соотношение:

В изометрии все три коэффициента искажения равны между собой и равны 0,82.

  На практике коэффициенты искажения принимают равными 1. При этом изображение получается выполненным в масштабе 1,22 : 1 (т.е. в 1,22 раза большим).

Для определения углов     jxy, j xz, j yz  между аксонометрическими осями воспользуемся формулой

(смотри проецирование плоских углов раздел 1.5 рис.5.9 )

В рассматриваемом случае

Подставив полученные значения в приведенную выше формулу, получим

Знак " - " указывает на то, что угол фxy тупой, т.е.

Углы между аксонометрическими осями в изометрии равны между собой и равны 120o.

Рассмотрим пример.

Другие примеры построения изометрических проекций будут приведены ниже, при рассмотрении геометрических фигур.

7.3. Диметрия.

Аксонометрическое изображение, у которого коэффициенты искажения по двум координатным осям равны между собой и отличны от третьего, т.е. U = W и не равно V, называется диметрией.

ГОСТ рекомендует
U = W = 2V = 2K.
Подставив значение коэффициентов искажения в основное соотношение, получим

В диметрии коэффициенты искажения по осям O'X' и O'Z' равны между собой и равны 0,94, а по оси O'Y' равен 0,47.

На практике коэффициенты искажения по осям O'X' и O'Z' принимаются равными 1, а по оси O'Y 0,5. При этом изображение получается выполненным в масштабе 1,06 : 1 (т.е. в 1,06 раза большим).

Углы между аксонометрическими осями в диметрии равны jxz = 97o12', jyz = 131o24'.

Диметрическую систему координат легко построить без измерения углов методом, приведенным на рис. 7.5.
Значения углов между аксионометрическими осями получены с помощью формулы проецированияплоского угла, приведенной в разделе ортогональное проецирование (тема 1.5).
В качестве примера рассмотрим построение диметрии того же отрезка АВ, что и в предыдущем разделе.
(см. пример)

7.4. Аксонометрические проекции окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных координатным (плоскостям проекций)

7.4.1. Теоретические основы.

В общем случае, при построении наглядных изображений заданного оригинала требуется построить аксонометрические проекции значительного количества точек, что делает процесс построения достаточно трудоемким. В некоторых случаях эту трудоемкость удается уменьшить.

Анализ конфигурации технических деталей показывает, что они часто включают в себя цилиндрические поверхности, т.е. содержат окружности, плоскости которых перпендикулярны осевым линиям изделия. Если изделие расположить в пространстве так, чтобы его осевые линии совпадали с осями координат или были им параллельны, то плоскости этих окружностей будут параллельны координатным плоскостям и при ортогональном проецировании на аксонометрическую плоскость проекций дадут эллипсы.

Эллипс достаточно точно можно построить, зная его большую и малую ось. Кроме того, ГОСТ разрешает при построении аксонометрических проекций заменять эллипс овалом – кривой составленной из дуг окружностей (см. рис.). Рисунок Изложение выше приводит к следующей задаче.

7.4.2. Практические приложения

Изометрия

Изометрическая плоскость равнонаклонена ко всем трем координатным плоскостям и составляет с ними угол который примерно равен 53010' .

Малая ось параллельна отсутствующей в плоскости построения координатной оси.
Большая ось перпендикулярна малой оси.
При теоретических коэффициентах искажения U=V=W=0,81
Малая ось: b=0,59D
Большая ось: а=D При практических коэффициентах искажения U=V=W=1
Малая ось: b=0,72D
Большая ось: а=1,22D (т.е. изображение выполнено в масштабе 1,22:1)

Диметрия

Во всех трех координатных плоскостях при построении эллипсов малая ось паралельна отсутствующей в плоскости построения координатной оси. Большая ось перпендикулярна малой оси. При теоретических коэффициентах искажения U=W=0,94; V=0,47 Для плоскости X'O'Z' малая ось: b=0,88D, большая ось: а=D, Для плоскостей X'O'Y' и Y'O'Z', Малая ось: b=0,33D Большая ось: а=D

При практических коэффициентах искажения U=W=1, V=0,5 Для плоскости X'O'Z' Малая ось: b=0,94D Большая ось: а=1,06D

Для плоскостей X'O'Y' и Y'O'Z' Малая ось: b=0,35D Большая ось: а=1,06D (т.е. изображение выполнено в масштабе 1,06:1)

7.4.3. Построение наиболее распространеных кривых.

Построение эллипса по заданным большой и малой оси.

Напомним основные свойства эллипса: - большая и малая ось эллипса взаимно перпендикулярны и пересекаясь делятся пополам. - большая и малая ось является осями симметрии эллипса. Дано: - центр эллипса, точка О (точка пересечения осей); - направление осей; - большая ось равна 2а, а малая ось - 2в, где a и в полуоси соответствующих осей.

Алгоритм построения:
1. Через заданную точку О проводятся две взаимно перпендикулярные прямые в направлении большой и малой оси.
2. Проводятся две окружности с центром в точке О радиуса а и в.
3. Отмечаются точки А, А' и В, В', определяющие большую и малую ось.
4. Из центра О проводят луч под произвольным углом так, чтобы он пересекал обе окружности.
5. Из точки L пересечения луча с меньшей окружностью проводят прямую (1-1'), параллельную большой оси (1-1' || AA').
6. Из точки К пересечения этого же луча с большей окружностью проводят прямую 2-2', параллельную малой оси эллипса (2-2' || ВВ').
7. Точка С пересечения прямых 1-1', 2-2' – искомая точка эллипса.
8. Строят точки С', С'', С''', симметричные точки С, относительно большой и малой оси.
9. Пункты 4-8 повторяют до получения кривой с нужной точностью.
10. Через полученные точки с помощью лекала проводят кривую – эллипс.

Построение овала по двум заданным осям

Дано: Большая ось овала AB и малая ось - CD.
построить овал. (рис 7.11а).

Проведем вспомогательную прямую АС, соединяющую конец А большой оси с концом С малой оси овала. Найдем разницу между большой и малой полуосями овала. Для этого из центра О радиусом ОА сделаем засечку К на продолжении малой оси CD. Дугою радиуса СК из точки С сделаем засечку G на прямой АС. Через середину отрезка AG проводим перпендикуляр, который пересекает оси овала в точках О1 и О4 (для этогоиз точек A и Q проводим дуги окружностей, радиус которых наверняка больше AG/2 и соединяем точки пересечения этих дуг). Находим симметричные им точки О2 и О3 и проводим прямые О1О3, О1О4, О2О3, О2О4. Из центра О4 радиусом О4С проводим дугу до пересечения с прямыми О1О4 и О2О4 в точках E и F, которые и будут точками сопряжения овала. Выполнив аналогичные построения из центра О3, получим точки сопряжения M и N. Проводим дуги из центров О1 и О2 радиусом О1А и заканчиваем построение овала.

Во многих учебниках и справочниках приводится другой способ построения овала по двум осям. Учти, это возможно, если

Дано: АВ=2а – большая ось, CD=2b – малая ось.
Построить овал, заменяющий эллипс с большой осью = 2а, а малой осью = 2b. Через выбранный центр О овала проводим две взаимно перпендикулярные прямые и откладываем на них большую ось (АВ=2а) АО=ОВ=а и малую ось (СD=2b) СО=ОD=b. Из центра О радиусом ОА=а проводим дугу до пересечения с прямой СD, малой осью, в точках О3 и О4 . Аналогично из центра О радиусом ОС=в описываем дугу до пересечения с прямой АВ, большой осью, в точках О1 и О2. Точки О12, О3 и О4 – центры дуг сопряжения. Проведем прямые линии через точки О4 и О1, О4 и О2, О3 и О1, О3 и О2. Из центров дуг сопряжения О3 и О4 описывает дуги сопряжения радиусом R=О3С (или R=a+b), а из центров О1 и О2 описываем дуги радиусом R11А (или R1=a-b) до пересечения с построенными прямыми в точках E, F, K, L.

Построение параболы по вершине О, оси ОА и хорде ВС

Из точек О и В проводят взаимоперпендикулярные прямые до пересеченияв точке D. Отрезки OD и BD делят на одинаковое число равных частей. Из точки О проводят лучи в точки деления на отрезке BD, а из точек деления на отрезке OD - прямые, параллельные оси параболы. В пересечении соответствующих прямых получают точки одной ветви параболы. Точки другой ветви параболы симметричныполученнымотносительно оси параболы.

Построение гиперболы по заданной вершине А, оси АВ и точке С гиперболы.

Из точки С опускают перпендикуляр на направление действительной оси АВ гиперболы и строятпрямоугольник ABCD. Стороны CD и СВ прямоугольника делят на одинаковое число равных частей.
Откладывают на осигиперболы отрезок ОА = ОВ и проводят два пучка лучей: из точки А к точкам 1,2,3, . . . деления, а из точки О к точкам 1', 2', 3', ... Взаимным пересечением этих пучков получаются точки, принадлежащие гиперболе. Нижняя ветвь гиперболы симметрична верхней относительно действительной оси.


Назад Содержание Далее