Назад Содержание Далее

Тема 6. Преобразование комплексного чертежа.

Содержание.

6.1. Проецирование на дополнительную плоскость.

В начертательной геометрии и инженерной графике часто встречаются метрические задачи, такие, как:

Решение таких задач существенно упрощается, если объекты проектирования частным образом расположены по отношению к плоскостям проекций, например, проектирующие плоскости, или прямые уровня(горизонтали, фронтали).
Если необходимо решить метрическую задачу с объектом общего положения, то с помощью проектирования на дополнительную плоскость его можно перевести в специальное(частичное) положение, которое значительно упростит решение задачи.

Проанализировавши изложеннный выше материал можно сделать следующий вывод:

- решения заданий на комплексном чертеже существенно упрощается, если геометрические фигуры (прямые, плоскости) занимают по отношению к плоскостям проекций частное положение (проектирующее, уровня).

Две проекции точки на две взаимно перепендикулярных плоскостях полностью задают положение точки в пространстве, то есть по двум проекциям можно определить все три координаты точки. Введем новую плоскость проекций, перпендикулярно одной из заданных плоскостей проекций и спроектируем на нее точку.

На рис. 6.1 выполнено проектирование точки А{ А12} на дополнительную плошину проекций П4, которая перпендикулярна плоскости П1. Линия пересечения плоскостей П1 и П4 является осью Х14. Процесс проектирования на дополнительную плоскость и превращение при этом комплексного чертежа рассмотрим по шагам на рисунке 6.1.

Чтобы построить проекцию на дополнительную плоскость необходимо:

Рассмотрим(рис. 6.2) проектирование прямой АВ общего положения, заданной проекциями A1В1 и A2В2 на дополнительные плоскости .

    Сначала превратим прямую АВ из прямой общего положения в прямую уровня и найдем натуральную величину отрезка АВ, а затем прямую уровня превратим в проектирующую прямую.
1.Превратим прямую АВ общего положения в прямую уровня. Для этого спроектируем ее на дополнительную плоскость П4. Плоскость П4 должна быть:
- перпендикулярная одной из плоскостей проекций П1 или П2 ;
- параллельная прямой АВ.
Выберем П4 ^ П2 и П4 || АВ. Тогда ось Х14(линия пересечения плоскостей П2 и П4) должна быть параллельна проекции A2В2 прямой. Из точек A2 и B2 проведем линии проекционных связей через ось Х24 и отмеряем на них координаты Ya,Yb(как показано стрелками на рис. 6.2) найдем точки A4,B4. Отрезок A4B4 является натуральной величиной прямои АВ. В системе координат П2П4 прямая АВ является прямой уровня. Прямая АВ наклонена к фронтальной плоскости П2 под углом b.
Аналогичные построения можно выполнить на плоскости П1. В этом случае будут найдены НВ[AB] и угол a наклона прямой АВ к плоскости П1.
Выполните эти построения самостоятельно.
2. Для превращения прямой уровня в проектирующую прямую, построим еще одну дополнительную плоскость П5. Плоскость П5 должна быть перпендикулярна плоскости П4 и прямой АВ(П5 ^ П4, П5 ^ AB). Напомним, что прямая АВ в системе координат П2П4 является прямой уровня по отношению к плоскости П4.
Чтобы выполнить условие: П5 ^ П4, П5 ^ AB, ось X45 должна быть перпендикулярная проекции A4В4. На плоскость П5 прямая АВ проектируется в точку А45. В системе координат П4П5 прямая АВ проектирующая по отношению к плоскости П5. Аналогичные построения выполните самостоятельно на плоскости П1.

Запомните!

Одной заменой плоскостей проекций прямую общего положения можно сделать прямой уровня, при этом новая ось проекций располагается параллельно одной из проекций прямой.

Одной заменой плоскостей, прямую уровня можно сделать проектирующей прямой, при этом новая ось проекций будет перпендикулярна проекции, соответствующей натуральной величина отрезка.

Рассмотрим(рис.6.3) определения натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекций(проектирование на вспомогательную плоскость). Задачу решим с помощью двух замен плоскостей проекций.

1. Спроектируем треугольник на вспомогательную плоскость П4, которая перпендикулярна П1 и плоскости треугольника. Чтобы выполнить эти условия в треугольнике построим горизонталь h{h1,h2}. Ось Х14 должна быть перпендикулярная проекции h1 горизонтали. При этом на плоскость П4 треугольник проектируется в прямую линию С44= L4) B4. По отношению к плоскости П4 треугольник - проектирующая плоскость.

 

Чтобы определить натуральную величину треугольника, спроектируем треугольник на другую вспомогательную плоскость П55 ^ П4 и П5 параллельна плоскости треугольника. Эти условия выполняются, если ось Х45 будет параллельна проекциям С44=L4) В4. На плоскость П5 треугольник проектируется в натуральную величину. По отношению к плоскости П5 треугольник-плоскость уровня.

Применение алгоритма замены плоскостей проекций для решения метрической задачи иллюстрируется на рис. 6.3а. Рекомендуем внимательно ознакомиться.

Запомните!

Одной заменой плоскостей проекций плоскость общего положение можно сделать проектирующей, при этом новая ось проекций будет перпендикулярна соответствующей линии уровня. Одной заменой плоскостей проекций проектирующую плоскость можно сделать плоскостью уровня, при этом новая ось проекции будет параллельная следу проектирующей плоскости.

Применение приведенного алгоритма проиллюстрируем следующим примером рис. 6.3а.

Выполните задания Практического занятия №1

6.2. Вращение вокруг оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций.

При проецировании на дополнительную плоскость геометрический объект (прямая, плоскость) оставался неподвижным, а проецирование осуществлялось на новую, специальным образом расположенную плоскость. Но можно поступить и по другому. Плоскости проекций остаются неизменными, а геометрический объект переводится в нужное, частное положение. Этого можно добиться вращая его вокруг, например, вокруг оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций. Рассмотрим что при этом происходит, на конкретном примере.

Одним вращением вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций можно перевести:

Рассмотрим следующую, часто встречающуюся, задачу (рис.6.5), На комплексном чертеже заданы горизонтальная A1B1C1D1 и фронтальная A2B2C2D2 проекции плоской фигуры ABCD. Необходимо определить натуральную величину четырехугольника ABCD. Прежде чем решать задачу, найдите на чертеже подтверждение(если оно есть) того, что четырехугольник ABCD плоский, то есть все его вершины расположены в одной плоскости.
По отношению к плоскостям проекций, фигура ABCD занимает общее положение. Чтобы решить задачу, необходимо плоскость ABCD преобразовать в плоскость уровня относительно горизонтальной или фронтальной плоскости проекций. Тогда одна проекция плоскости- прямая, параллельная оси X12, а вторая- натуральная величина НВ[ABCD].

Такое преобразование плоскости можно выполнить с помощью двух вращений(поворотов) вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций. Первый поворот выполним вокруг оси i[i1,i2], проходящей через точку А[А12] и перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций (ось можно провести через какую-либо другую точку фигуры). Этим поворотом плоскость общего положения преобразуется во фронтально- проецирующую плоскость. Напомним, если плоскость Q перпендикулярная плоскости Т, то в плоскости Q есть хотя бы одна прямая, перпендикулярная плоскости Т. В качестве таких прямых выбирают прямые уровня- фронтали, горизонтали или профильные прямые.

Чтобы выполнить поворот, на фронтальной проекции A2B2C2D2 четырехугольника через точку A2 проведем фронтальную проекцию h2 горизонтали h. Она параллельна оси Х12 и пересекает сторону С2D2 четырехугольника в точке 12 .Горизонтальная проекция h1 горизонтали проходит через точку A1 и 11. Далее жесткий четырехугольник A1B1C1D1 совместно с горизонтальной проекцией h1горизонтали поворачиваем так, чтобы проекция h1 стала перпендикулярна к оси Х12. При этом точки B1C1D1h1 перемещаются по дугам с центром в точке А2 . Положение точки и размеры четырехугольника позволяют построить преобразованную горизонтальную проекцию четырехугольника (синий цвет на чертеже). При повороте фигуры точки B2, C2, D2 на фронтальной проекции перемещаются по прямым,

паралельным оси Х12 и их новое положение определяется пересечением этих прямых с линиями проекционных связей, проведенных из точек . Точка А при повороте не перемещается, поэтому , и . Обратите внимание на то, что после первого поворота одна проекция (в данном случае ) - прямая линия, что является признаком правильности построений.

Второй поворот выполним вокруг оси j[j1,j2], перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций и проходящей через точку . Ось можно провести какую-либо другую точку четырехугольника. Так как после первого поворота плоскость четырехугольника стала фронтально-проецирующей, то для преобразования ее в горизонтальную плоскость уровня, достаточно повернуть ее фронтальную проекцию в положение , параллельное оси Х12 и по проекционным связям построить горизонтальную проекцию четырехугольника, равную его натуральной величине НВ[ABCD]. Проекции четырехугольника после второго поворота на рис. 6.5. изображены красным цветом. При построении горизонтальной проекции надо учитывать, что при повороте плоскости вокруг оси j проекции точек перемещаются по прямым, праллельным оси Х12 . Точки при повороте положения не изменяют В заключение отметим, что выбрав положение оси i перпендикулярное фронтальной плоскости проекций П2 (для первого поворота), а ось j- перпендикулярное плоскости П1 (для второго поворота), получим натуральную величину НВ[ABCD] на фронтальной плоскости проекций. Рекомендуем выполнить аналогичные построения, изменив положения осей вращения, например, ось i (первый поворот) провести перпендикулярно к плоскости П2 через точку В(В12), а ось j (второй поворот) провести перпендикулярно к плоскости П1 через точку А(А12).

6.3. Плоско - параллельное перемещение.

6.4. Вращение плоскости вокруг прямой уровня.


Рассмотренные ранее методы преобразования комплексного чертежа пригодны для преобразования изображений любых геометрических объектов: точек, прямых и кривых линий, плоскостей, поверхностей, геометрических тел. В инженерной практике наиболее часто приходится решать задачи по определению натуральной величины плоских фигур, которые получаются как сечения геометрических фигур плоскостями как проецирующими, так и общего положения. В последнем случае наиболее эффективно использование метода вращения вокруг прямых уровня.
* Сущность этого метода рассмотрим на примере решения следующей задачи (рис.6.7)

6.5. Вращение плоскости вокруг следа.



Задача. Попробуйте решить ее самостоятельно
Ответ
Назад Содержание Далее