Содержание.

6.1. Проецирование на дополнительную плоскость.
6.1.1. Практическое занятие №1
6.2. Вращение вокруг оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций.
6.3. Плоско - параллельное перемещение.
6.4. Вращение плоскости вокруг прямой уровня.
6.5. Вращение плоскости вокруг следа.
6.5.1.Практическое занятие №2

6.1. Проецирование на дополнительную плоскость.

В начертательной геометрии и инженерной графике часто встречаются метрические задачи, такие, как:

-найти натуральную величину отрезка прямой, части плоскости, или другого объекта проектирования;
-найти углы наклона плоскости или прямой к плоскостям проекций;
-найти расстояние между объектами проектирования;
-и другие задачи.

Решение таких задач существенно упрощается, если объекты проектирования частным образом расположены по отношению к плоскостям проекций, например, проектирующие плоскости, или прямые уровня(горизонтали, фронтали).
Если необходимо решить метрическую задачу с объектом общего положения, то с помощью проектирования на дополнительную плоскость его можно перевести в специальное(частичное) положение, которое значительно упростит решение задачи.

Проанализировавши изложеннный выше материал можно сделать следующий вывод:

- решения заданий на комплексном чертеже существенно упрощается, если геометрические фигуры (прямые, плоскости) занимают по отношению к плоскостям проекций частное положение (проектирующее, уровня).

Две проекции точки на две взаимно перепендикулярных плоскостях полностью задают положение точки в пространстве, то есть по двум проекциям можно определить все три координаты точки. Введем новую плоскость проекций, перпендикулярно одной из заданных плоскостей проекций и спроектируем на нее точку.

На рис. 6.1 выполнено проектирование точки А{ А₁,А₂} на дополнительную плошину проекций П₄, которая перпендикулярна плоскости П₁. Линия пересечения плоскостей П₁ и П₄ является осью Х₁₄. Процесс проектирования на дополнительную плоскость и превращение при этом комплексного чертежа рассмотрим по шагам на рисунке 6.1.

Чтобы построить проекцию на дополнительную плоскость необходимо:

выбрать новую плоскость проекций П₄перпендикулярно одной из заданных плоскостей проекций: П₁, П₂ или П₃;
направление новой оси проекций определяется геометрическими условиями разрешимого задания и будет рассмотрено ниже;
положение новой оси проекций выбирается из условий компоновки чертежа, поскольку плоскость проекций можно переносить параллельно самой себе;
из проекции точки на плоскость, к которой перпендикулярная дополнительная плоскость проекций, проводится новая линия проекционной связи, перпендикулярно новой оси проекций;
по новой линии проекционной связи из точки пересечения ее с осью откладывается координата, соответствующая расстоянию от точки к плоскости проекций, к какой перпендикулярна дополнительная плоскость, с учетом знака.

Рассмотрим(рис. 6.2) проектирование прямой АВ общего положения, заданной проекциями A₁В₁ и A₂В₂ на дополнительные плоскости .

Сначала превратим прямую АВ из прямой общего положения в прямую уровня и найдем натуральную величину отрезка АВ, а затем прямую уровня превратим в проектирующую прямую.
1.Превратим прямую АВ общего положения в прямую уровня. Для этого спроектируем ее на дополнительную плоскость П₄. Плоскость П₄ должна быть:
- перпендикулярная одной из плоскостей проекций П₁ или П₂ ;
- параллельная прямой АВ.
Выберем П₄ ^ П₂ и П₄ || АВ. Тогда ось Х₁₄(линия пересечения плоскостей П2 и П4) должна быть параллельна проекции A₂В₂ прямой. Из точек A₂ и B₂ проведем линии проекционных связей через ось Х₂₄ и отмеряем на них координаты Y_a,Y_b(как показано стрелками на рис. 6.2) найдем точки A₄,B₄. Отрезок A₄B₄ является натуральной величиной прямои АВ. В системе координат П₂П₄ прямая АВ является прямой уровня. Прямая АВ наклонена к фронтальной плоскости П₂ под углом b.
Аналогичные построения можно выполнить на плоскости П₁. В этом случае будут найдены НВ[AB] и угол a наклона прямой АВ к плоскости П₁.
Выполните эти построения самостоятельно.
2. Для превращения прямой уровня в проектирующую прямую, построим еще одну дополнительную плоскость П₅. Плоскость П₅ должна быть перпендикулярна плоскости П₄ и прямой АВ(П₅ ^ П₄, П₅ ^ AB). Напомним, что прямая АВ в системе координат П₂П₄ является прямой уровня по отношению к плоскости П₄.
Чтобы выполнить условие: П₅ ^ П₄, П₅ ^ AB, ось X₄₅ должна быть перпендикулярная проекции A₄В₄. На плоскость П₅ прямая АВ проектируется в точку А₄=А₅. В системе координат П₄П₅ прямая АВ проектирующая по отношению к плоскости П₅. Аналогичные построения выполните самостоятельно на плоскости П₁.

Запомните!

Одной заменой плоскостей проекций прямую общего положения можно сделать прямой уровня, при этом новая ось проекций располагается параллельно одной из проекций прямой.
Одной заменой плоскостей, прямую уровня можно сделать проектирующей прямой, при этом новая ось проекций будет перпендикулярна проекции, соответствующей натуральной величина отрезка.

Рассмотрим(рис.6.3) определения натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекций(проектирование на вспомогательную плоскость). Задачу решим с помощью двух замен плоскостей проекций.

1. Спроектируем треугольник на вспомогательную плоскость П₄, которая перпендикулярна П₁ и плоскости треугольника. Чтобы выполнить эти условия в треугольнике построим горизонталь h{h₁,h₂}. Ось Х₁₄ должна быть перпендикулярная проекции h₁ горизонтали. При этом на плоскость П₄ треугольник проектируется в прямую линию С₄(А₄= L₄) B₄. По отношению к плоскости П₄ треугольник - проектирующая плоскость.

Чтобы определить натуральную величину треугольника, спроектируем треугольник на другую вспомогательную плоскость П₅.П₅ ^ П₄ и П₅ параллельна плоскости треугольника. Эти условия выполняются, если ось Х₄₅ будет параллельна проекциям С₄(А₄=L₄) В₄. На плоскость П₅ треугольник проектируется в натуральную величину. По отношению к плоскости П₅ треугольник-плоскость уровня.

Применение алгоритма замены плоскостей проекций для решения метрической задачи иллюстрируется на рис. 6.3а. Рекомендуем внимательно ознакомиться.

Запомните!

Одной заменой плоскостей проекций плоскость общего положение можно сделать проектирующей, при этом новая ось проекций будет перпендикулярна соответствующей линии уровня. Одной заменой плоскостей проекций проектирующую плоскость можно сделать плоскостью уровня, при этом новая ось проекции будет параллельная следу проектирующей плоскости.

Применение приведенного алгоритма проиллюстрируем следующим примером рис. 6.3а.

Выполните задания Практического занятия №1

6.2. Вращение вокруг оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций.

При проецировании на дополнительную плоскость геометрический объект (прямая, плоскость) оставался неподвижным, а проецирование осуществлялось на новую, специальным образом расположенную плоскость. Но можно поступить и по другому. Плоскости проекций остаются неизменными, а геометрический объект переводится в нужное, частное положение. Этого можно добиться вращая его вокруг, например, вокруг оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций. Рассмотрим что при этом происходит, на конкретном примере.

Одним вращением вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций можно перевести:

прямую общего положения в прямую уровня;
прямую уровня - в проецирующую прямую;
плоскость общего положения - в проецирующую плоскость;
проецирующую плоскость - в плоскость уровня.

—

Рассмотрим следующую, часто встречающуюся, задачу (рис.6.5), На комплексном чертеже заданы горизонтальная A₁B₁C₁D₁ и фронтальная A₂B₂C₂D₂ проекции плоской фигуры ABCD. Необходимо определить натуральную величину четырехугольника ABCD. Прежде чем решать задачу, найдите на чертеже подтверждение(если оно есть) того, что четырехугольник ABCD плоский, то есть все его вершины расположены в одной плоскости.
По отношению к плоскостям проекций, фигура ABCD занимает общее положение. Чтобы решить задачу, необходимо плоскость ABCD преобразовать в плоскость уровня относительно горизонтальной или фронтальной плоскости проекций. Тогда одна проекция плоскости- прямая, параллельная оси X₁₂, а вторая- натуральная величина НВ[ABCD].

Такое преобразование плоскости можно выполнить с помощью двух вращений(поворотов) вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций. Первый поворот выполним вокруг оси i[i₁,i₂], проходящей через точку А[А₁,А₂] и перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций (ось можно провести через какую-либо другую точку фигуры). Этим поворотом плоскость общего положения преобразуется во фронтально- проецирующую плоскость. Напомним, если плоскость Q перпендикулярная плоскости Т, то в плоскости Q есть хотя бы одна прямая, перпендикулярная плоскости Т. В качестве таких прямых выбирают прямые уровня- фронтали, горизонтали или профильные прямые.

Чтобы выполнить поворот, на фронтальной проекции A₂B₂C₂D₂ четырехугольника через точку A₂ проведем фронтальную проекцию h₂ горизонтали h. Она параллельна оси Х₁₂ и пересекает сторону С₂D₂ четырехугольника в точке 1₂ .Горизонтальная проекция h₁ горизонтали проходит через точку A₁ и 1₁. Далее жесткий четырехугольник A₁B₁C₁D₁ совместно с горизонтальной проекцией h₁горизонтали поворачиваем так, чтобы проекция h₁ стала перпендикулярна к оси Х₁₂. При этом точки B₁C₁D₁h₁ перемещаются по дугам с центром в точке А₂ . Положение точки и размеры четырехугольника позволяют построить преобразованную горизонтальную проекцию четырехугольника (синий цвет на чертеже). При повороте фигуры точки B₂, C₂, D₂ на фронтальной проекции перемещаются по прямым,

паралельным оси Х₁₂ и их новое положение определяется пересечением этих прямых с линиями проекционных связей, проведенных из точек . Точка А при повороте не перемещается, поэтому , и . Обратите внимание на то, что после первого поворота одна проекция (в данном случае ) - прямая линия, что является признаком правильности построений.

Второй поворот выполним вокруг оси j[j₁,j₂], перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций и проходящей через точку . Ось можно провести какую-либо другую точку четырехугольника. Так как после первого поворота плоскость четырехугольника стала фронтально-проецирующей, то для преобразования ее в горизонтальную плоскость уровня, достаточно повернуть ее фронтальную проекцию в положение , параллельное оси Х₁₂ и по проекционным связям построить горизонтальную проекцию четырехугольника, равную его натуральной величине НВ[ABCD]. Проекции четырехугольника после второго поворота на рис. 6.5. изображены красным цветом. При построении горизонтальной проекции надо учитывать, что при повороте плоскости вокруг оси j проекции точек перемещаются по прямым, праллельным оси Х₁₂. Точки при повороте положения не изменяют В заключение отметим, что выбрав положение оси i перпендикулярное фронтальной плоскости проекций П₂ (для первого поворота), а ось j- перпендикулярное плоскости П₁ (для второго поворота), получим натуральную величину НВ[ABCD] на фронтальной плоскости проекций. Рекомендуем выполнить аналогичные построения, изменив положения осей вращения, например, ось i (первый поворот) провести перпендикулярно к плоскости П₂ через точку В(В₁,В₂), а ось j (второй поворот) провести перпендикулярно к плоскости П₁ через точку А(А₁,А₂).

6.3. Плоско - параллельное перемещение.

6.4. Вращение плоскости вокруг прямой уровня.

Рассмотренные ранее методы преобразования комплексного чертежа пригодны для преобразования изображений любых геометрических объектов: точек, прямых и кривых линий, плоскостей, поверхностей, геометрических тел. В инженерной практике наиболее часто приходится решать задачи по определению натуральной величины плоских фигур, которые получаются как сечения геометрических фигур плоскостями как проецирующими, так и общего положения. В последнем случае наиболее эффективно использование метода вращения вокруг прямых уровня.
* Сущность этого метода рассмотрим на примере решения следующей задачи (рис.6.7)

6.5. Вращение плоскости вокруг следа.

Задача. Попробуйте решить ее самостоятельно

Ответ