Назад Содержание Далее

Тема 5. Проецирование плоскости

Содержание.

Плоскость, как точка и прямая, относится к основным неопределяемым понятиям геометрии. Плоскость безгранична. В практических приложениях, как правило, используются те или иные ее части, ограниченные какой-либо плоской замкнутой линией. Ограниченную часть плоскости называют отсеком плоскости.

5.1. Задание плоскости

5.1.1. Задание плоскости тремя точками.

Для того, чтобы задать плоскость в пространстве, достаточно задать три ее точки, не лежащие на одной прямой. Чтобы убедиться в этом, зайдите сюда (рис.5.1).

На рис. 5.1 наглядно показано, что три точки однозначно задают плоскость.
Построение комплексного чертежа и наглядного изображения такой плоскости рассмотрено ниже рис.5.2а,б.

Задание плоскости тремя точками является основополагающим и непосредственно из него вытекают другие способы:

Все эти способы равноценные и всегда можно перейти от одного способа к другому. Комплексные чертежи плоскостей заданных перечисленными выше способами можно посмотреть здесь.

5.1.2. Задание плоскости следами.

На рис. 5.3а приведено наглядное изображение плоскости Q, отсек которой расположен в первом октанте. Отсек ограничен линиями h0{Qx, Qy}, f0{Qx, QZ}, p0{QY, QZ} пересечения плоскости Q с плоскостями проекций П1, П2, П3. Эти линии пересечения называются следами плоскости Q. На рис. 5.3б изображен комплексный чертеж этой плоскости. Следы плоскости однозначно определяют расположение этой плоскости в пространстве, то есть однозначно задают плоскость. С вопросами задания плоскости следами более подробно и полно рекомендуем ознакомиться здесь.

Рассмотрим способы задания плоскости (файл Word)

5.2. Условия принадлежности прямой и точки плоскости.

Известно несколько признаков принадлежности прямой и точки плоскости.

Используя эти условия постройте горизонтальную проекцию D1 точки D (рис.5.4)

Плоскость Q задана треугольниками АВС, то есть его горизонтальной А1В1С1 и фронтальной А2В2С2 проекциями. Точка D принадлежит плоскости и задана ее фронтальная проекция D2. Постройте на бумаге недостающую горизонтальную проекцию D1 точки D.
Ваше решение сравните с ответом

5.3. Расположение плоскости относительно плоскостей проекции.

По расположению относительно плоскостей проекции плоскости делятся на:

Повторим, что плоскость не перпендикулярная и не параллельная ни одной из плоскостей проекции называется плоскостью общего положения.

На приведенных ранее рисунках были изображены плоскости общего положения. 

Плоскости частного положения в свою очередь делятся на:

5.3.1. Проецирующие плоскости.

Плоскость перпендикулярная к одной из плоскостей проекций называется проецирующей плоскостью.

Выделяют три вида проецирующих плоскостей:

  1. горизонтально -  проецирующая плоскость (рис. 5.5 а,б);
  2. фронтально - проецирующая плоскость (рис. 5.6 а,б);
  3. профильно - проецирующая плоскость (рис. 5.7 а,б).

Для всех проецирующихся плоскостей справедливо:

След проецирующей плоскости на плоскости проекций, к которой она перпендикулярна, расположен под углом к осям координат, а два других следа перпендикулярны к тем же осям. При задании проецирующей плоскости два последних следа изображают, если это требуется для решения задач, но первый след задает эту плоскость, изображается всегда, и обладает собирательным свойством:

Все, что лежит в проецирующей плоскости, проецируется на ее след.

Справедливо и обратное утверждение, если проекция точки или линии лежит на одноименной проекции следа проецирующей плоскости, то эта точка или линия принадлежит этой проецирующей плоскости.

Отсюда непосредственно следует, что проецирующую плоскость можно задать только одним ее следом.

Данo:
- горизонтально-проецирующая плоскость Q перпендикулярна П1
- горизонтальная проекция А1 точки А, лежащая на следе h0 этой плоскости Q, А1 принадлежит h10.

Определить, как точка А расположена в пространстве относительно плоскости Q.

Видно, что весь проецирующий луч, проходящий через А1 принадлежит плоскости Q, следовательно точка А обязательно принадлежит плоскости Q. Убедитесь в этом здесь

5.3.2. Плоскости уровня.

Плоскость параллельная какой-либо плоскости проекции и, следовательно, перпеникулярная двум другим плоскостям проекций называется плоскостью уровня.

Плоскость уровня двоякопроецирующая и обладает всеми свойствами проецирующей плоскости.

Можно выделить три семейства плоскостей уровня:
Рис. 5.9 Горизонтальная плоскость уровня

Фигура ABCD лежащая в этой плоскости на горизонтальную плоскость проекции проецируется в натуральную величину, а на фронтальную и профильную в соответствующие следы.

Рис. 5.10 Фронтальная плоскость уровня
Рис. 5.11 Профильная плоскость уровня

Рассмотрим классификацию плоскостей (файл Word)

5.4. Линии уровня плоскости


Прямые плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются линиями либо прямыми уровня.

В общем случае на плоскости можно выделить три семейства таких прямых.

1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций - горизонтали.

2. Фронтали - прямые параллельные фронтальной плоскости проекций.

3. Профильные прямые - параллельные профильной плоскости проекций.

Рассмотрим вопросы проецирования линий уровня.

5.4.1. Проецирование горизонтали плоскости

5.4.2. Проецирование фронтали плоскости.

5.4.3. Проецирование профильной прямой плоскости.

Прямые уровня широко используются при решении различных графических задач

Пример 1.

Дано: На плоскости Q задана точка А. Известна ее фронтальная проекция А2.
Найти: Недостающие проекции А1 и А3.

Построение выполните на бумаге
Ответ найдите здесь.
Пример2

Дано: Плоскость общего положения Р задана двумя параллельными прямыми а и b, в свою очередь заданными проекциями а1, а2 и b1, b2 на комплексном чертеже.

Построить: Горизонталь h и фронталь f, принадлежащие плоскости Р.
Ответ найдите здесь

5.5. Линии наибольшего наклона плоскости. Углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

Прямые, перпендикулярные линиям уровня, называются линиями наибольшего наклона к соответствующей плоскости проекций. Очевидно, что линий наибольшего наклона (ЛНН) три семейства :

(ЛННП1) перпендикулярно h - линии наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций П1;

(ЛННП2) перпендикулярно f - линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций П2;

(ЛННП3) перпендикулярно p - линии наибольшего наклона к профильной плоскости проекции П3.

Линии наибольшего наклона используются для определения углов наклона плоскости к плоскостям проеций.
Угол наклона плоскости к плоскости проекции это линейный угол, образованный линией наибольшего наклона и ее проекцией на эту плоскость.

5.5.1. Построение ЛННП2 и угла наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций.

5.5.2. Построение ЛННП1 и угла наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

5.5.3. Построение ЛННП3 и угла наклона плоскости к профильной плоскости проекций.

Рассмотрим примеры использования ЛНН при решении графических задач

Пример1.
Рассмотрите пример определения угла наклона плоскости Р, заданной пересекающимися прямыми, к фронтальной плоскости проекций П2.
Дано:
Плоскость P {h x f} - задана двумяпересекающимися прямыми уровня - горизонталью и фронталью.
Определить:
Угол наклона плоскости Р к фронтальной плоскости проекций П2
Выполните построения на бумаге и сравните с приведенным здесь решением
Пример2.
Дано:
Горизонтально - проецирующая плоскость, заданная своими горизонтальным h0 и фронтальным f0 следами. Точка А принадлежит плоскости Т.
Проведите через точку А горизонталь и фронталь и определите углы наклона плоскости Т к плоскостям проекций.
Решите поставленную задачу на бумаге и сравните полученный результат с рис. 5.21а,б

5.6. Взаимное расположение плоскостей.

Две плоскости в пространстве могут быть:

5.6.1. Параллельные плоскости

На рисунке 5.22 изображены две параллельные плоскости Т и S.

Из элементарной геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны в пространстве.

На рис. 5.22 прямые а, b принадлежат плоскости Т, т.е. Т{a x b}, а прямые l, d задают плоскость S{l x d}. При этом а || l, a b || d, следовательно плоскости Т и S параллельны (Т || S).

На комплексном чертеже (рис 5.23) две пары пересекающихся прямых а, b и c, d заданных проекциями, задают две параллельные плоскости, так как их одноименные проекции параллельны
a1 || d1, a2 || d2; b1 || l1, b2 || l2.

Рассмотрим пример построения параллельных плоскостей.

5.6.2. Пересекающиеся плоскости

Рассмотрим построение линий пересечения двух плоскостей (рис 5.25). Две плоскости пересекаются по прямой, которая называется линией пересечения плоскостей. Пример пересечения плоскостей Q и P показан на рисунке 5.25.

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей необходимо найти по крайней мере две точки, наверняка принадлежащие этим плоскостям. Такие точки найти достаточно просто, если


Рис. 5.26
- плоскости заданы следами, причем проекции этих следов пересекаются в пределах чертежа(см.рис 5.26)
Рис. 5.27
- плоскость общего положения (задана любым способом) пересекается с проецирующей плоскостью (проецирующая плоскость может быть задана только своим следом)(см. рис. 5.27)
Рис. 5.28
- плоскость общего положения пересекается с плоскостью уровня (см. рис 5.28)

Плоскость уровня пересекается с плоскостью общего положения по соответствующей линии уровня
В приведенном примере горизонтальная плоскость уровня G пересекается с плоскостью P общего положения по горизонтали h(P).
Рассмотрим построение линии пересечения в общем случае. Не нарушая общности, примем, что плоскости задаются двумя прямыми параллельными или пересекающимися.

Однако в общем случае задающие прямые одной плоскости скрещиваются с задающими прямыми другой плоскости

На рис. 5.29 плоскость T{a||b} общего положения задана двумя параллельными прямыми a и b, а плоскость S {d x l} -двумя пересекающимися прямыми d и l. Прямые а, d и l, а также b, d и l - скрещивающиеся.

Поэтому, чтобы построить линию пересечения плоскостей S и T необходимо воспользоваться вспомогательной плоскостью посредником G1.

Сущность этого метода заключается в следующем.
Пересечем вспомогательной плоскостью посредником G1 обе заданные плоскости S и T. Пусть плоскости G1 и S пересекаются по прямой mS, а плоскости G1 и T по прямой mT. Очевидно, что прямые mS и mT лежат в одной плоскости G1 и пересекаются в точке А. Следовательно, точка А принадлежит как плоскости G1, так и заданным плоскостям S и T, т.е. принадлежит линии их пересечения. Прямая задается двумя точками. Введя еще одну плоскость-посредник G2(как правило G1 || G2, т.к. в этом случае построение на комплексном чертеже упрощается), получим вторую точку линии пересечения - точку В.

Проилюстрируем применение приведенного алгоритма на примере построения линии пересечения двух плоскостей общего положения P{h0(p)x f0(p)} и Q{h0(Q)x f0(Q)}, заданных следами (рис.5.30 а,б). Пусть пересекающиеся плоскости заданы следами, но их фронтальные следы пересекаются вне пределов чертежа.
Точка А (А12), принадлежащая линии пересечения плоскостей P и Q, расположена на горизонтальной плоскости проекций в точке пересечения горизонтальных следов плоскостей P и Q. Для нахождения второй точки В (В12) использована вспомогательная плоскость G. Точка В определяется, как точка пересечения линий пересечения вспомогательной плоскости G с плоскостями P и Q. Рекомендуем посмотреть построение, выполненное по шагам

Рассмотрим взаимное расположение двух плоскостей (файл Word)

5.7. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельной или пересекаться с нею, в частном случае быть перпендикулярной плоскости. Рассмотрим эти случаи подробнее.

5.7.1. Условия принадлежности прямой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости:

Вспомните, что точка принадлежит плоскости, если она лежит на какой-либо прямой этой плоскости.

Эти определения позволяют решать задачи на комплексном чертеже. Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1

Дано: плоскость Q{a || b}, заданная двумя параллельными прямыми a || b, на комплексном чертеже a1 || b1 и a2 || b2. Точка А, принадлежащая плоскости Q, задана своей фронтальной проекцией А2.
Постройте на бумаге этот чертеж. Используя условия принадлежности прямой и точки плоскости, постройте горизонтальную проекцию А.
Ваши построения сравните с решением задачи выполненным по шагам
Пример 2

Дано: Плоскость Q{h0 x f0}, задана своими следами h0 = h10 и f0 =f20 (на комплексном чертеже h10 и f20 - заданы, h20 = f10 = 0X2). Лежащий в плоскости Q треугольник АВС представлен своей горизонтальной проекцией A1В1С1.
Постройте на бумаге фронтальную проекцию этого треугольника А2В2С2.
Решение по шагам можете найти здесь

5.7.2. Прямая, параллельная плоскости.

Прямая, параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим наиболее характерные задачи, иллюстрирующие это определение.

5.7.3. Прямая пересекается с плоскостью.

Если прямая пересекается с плоскостью, то возникает задача определения точки пересечения (иногда говорят точки встречи) прямой с плоскостью. Эта задача представляет как самостоятельный интерес, так и является одним из основных блоков при решении других, более сложных задач, например определение расстояний от точки до плоскости, построения линий пересечения поверхностей и т.п.

Алгоритм определения точки пересечения прямой с плоскостью.

Чтобы найти точку K встречи прямой l с плоскостью Q необходимо:

1. Заключить прямую l во вспомогательную плоскость. Если прямая общего положения, то её заключают в проецирующую плоскость. Если прямая профильного уровня, то в плоскость общего положения.

2. Построить линию m пересечения заданной плоскости с вспомогательной.

3. Точка K пересечения заданной прямой l с построенной линией m пересечения и является искомой точкой пересечения прямой с плоскостью.

Применим приведенный выше алгоритм для решения задачи нахождения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (рис.5.35а,б).

Определение точки пересечения прямой с плоскостью существенно упрощается, если хотя бы один из геометрических элементов (прямая или плоскость) занимают проецирующее положение. При этом возможны следующие случаи:

Рассмотрим эти частные случаи
Пример 1.
Дано: Прямая общего положения L (на комплексном чертеже заданасвоими L1, L2) горизонтально-проецирующая плоскость S {h0 x f0} перпендикулярна П1.
Найдите точку пересечения К (К1, К2) прямой L с плоскостью S.
Построение выполните на бумаге, используя свойства проецирующей плоскости, и сравните с ответом
Пример 2.
Дано: Плоскость общего положения S {h x f} задана своими следами. Прямая L{L1, L2} перпендикулярна П2 - фронтально-проецирующая.
Постройте точку К пересечения прямой l c плоскостью S. Полученнное Вами решение сравните с ответом
Пример 3.
Дано: Горизонтально-проецирующая прямая L перпендикулярна П1 пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью S (перепндикулярной П2)
Найдите точку пересечения К прямой L c плоскостью S. Ваше решение сравните с ответом

5.7.4. Прямая перпендикулярная плоскости.

Пересекаясь с плоскостью S, прямая а образует с ней некоторый угол тетта, образованный прямой а и её проекцией аs на заданную плоскость S.

Этот угол может изменяться в пределах от 00 до 1800.

Если угол равен 00 или 1800 - то, очевидно, прямая принадлежит плоскости.

Если угол тетта = 900, то прямая перпендикулярна плоскости.

Из курса элементарной геометрии известно:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Чтобы построить перпенликуляр к плоскости на комплексном чертеже вспомним, когда прямой угол проецируется без искажений, в прямой угол.

Прямой угол проецируется в прямой, если хотя бы одна из его сторон паралельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.

В плоскости всегда можно провести прямые, параллельные плоскости проекций - прямые уровня (горизонтали, фронтали, профильные прямые).

Из приведенного выше следует:

Если прямая n перпендикулярна плоскости S{h x f}, то на комплексном чертеже горизонтальная проекция перпендикуляра n1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h1, а фронтальная проекция перпендикуляра n2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f2.
n S{h x f} n1 h1 и n2 f2

Продемонстрируем изложенное примером.

Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости (файл Word)

5.7.5. Определение расстояния от точки до плоскости.

Определение расстояния от точки до плоскости является одной из ключевых задач инженерной графики.

На комплексном чертеже алгоритм решения этой задачи имеет вид:

1. Из точки А необходимо опустить перпендикуляр n к плоскости S. . Для этого в плоскости S проводят горизонталь h и фронталь f. Горизонтальная проекция перпендикуляра n1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h1 плоскости, а фронтальная проекция перпендикуляра n2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f2.
A n S{h x f} A1 n1 h1 и A2 n2 f2.

2. Определить точку B пересечения перпендикуляра n с плоскостью S. Для этого необходимо - заключить перпендикуляр n в плоскость Q
- построить линию пересечения m плоскостей S и Q
- определить искомую точку B, как точку пересечения прямых m и n
B = m x n

3. Определить натуральную величину отрезка AB.

Рассмотрим пример 1. (Рис. 5.40)
Дано: точка А (А12)- заданная двумя своими проекциями и плоскость общего положения S {а || b} заданная двумя параллельными прямыми a || b, отсюда следует а1 || b2 и a1 || b2.

Определить расстояние от точки A до плоскости S.
На рис. 5.40 выполнены все построения в соответствии с выше приведенным алгоритмом и определена натуральная величина Н.В.[АВ] отрезка АВ равная расстоянию от точки А до плоскости S (точки В)

Подробное построение по шагам приведено здесь.

Задача определения расстояния от точки до плоскости существенно упращается, если плоскость - проецирующая.

Расмотрим пример 2 (Рис.5.41)

Дано: точка А (А12) задана двумя проекциями А1 и А2. Плоскость S перпендикулярна П1 - горизонтально-проецирующая - задана горизонтальной прекцией h10 горизонтального следа h0 и f20 перпендикулярно оси X.

Определить расстояние от точки А до плоскости S.
Чтобы определить искомое расстояние надо из точки А опустить перпендикуляр на плоскость S. Найти точку пересечения В перпендикуляра с плоскостью и определить натуральную величину отрезка АВ.

Рекомендуем выполнить построение на бумаге и Ваше решение сравнить с ответом


Назад Содержание Далее